SECCIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO

Se dice que un punto C divide al segmento AB en la proporción áurea cuando, siendo AC la parte mayor en la que AB queda dividido por el punto C, se cumple: AB/AC = AC/CB.
A la parte mayor en la que AB queda dividido por C se la llama segmento áureo del segmento AB.
El problema de la división áurea de un segmento fue resuelto por Euclides en los Elementos II. 11, y desde entonces ha sido asunto de interés para los matemáticos de todos los tiempos.

DIVISIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO

El siguiente applet muestra la forma de dividir un segmento AB en dos partes, AC y CB, de forma que AC y CB estén en la proporción áurea (AC/Cb = nr. áureo).
Se traza la perpendicular al segmento por B, se lleva la longitud MB (M punto medio del segmento) sobre la perpendicular para obtener D. Se dibuja el segmento AD. Con centro en D se traza la circunferencia de radio CB para obtener el punto E sobre AD. Con centro. Ahora se dibuja la circunferencia con centro en A y radio AE para obtener el punto C sobre el segmento AB.
La comprobación es sencilla (comprobar que AC/CB = (1+raiz(5))/2)

Figure sec_aur1.fig

CONSTRUCCIÓN DEL RECTÁNGULO ÁUREO

El siguiente applet muestra la construcción del rectángulo áureo ( lados en proporción áurea) a partir de un cuadrado ABCD. Basta tomar el punto E, punto medio del segmento AB, como centro de una circunferencia de radio EC para obtener el punto F.
La comprobación es sencilla ( AF y AD están en la proporción áurea; AF/AD = nr. áureo).

Está muy extendida la opinión de que los rectángulos áureos están presentes de forma intuitiva en muchas producciones artísticas del ser humano (pintura, escultura, arquitectura, etc.), así como en numerosos objetos de uso cotidiano. También se asegura que está presente en la naturaleza: forma de conchas de animales, en el crecimiento en el mundo vegetal, etc. Se justifican estas afirmaciones en el supuesto carácter armonioso de sus proporciones que lo hace más agradable que otras proporciones distintas. Esta opinión, a pesar de estar muy extendida, cuenta con detractores. Algunos de ellos sostienenen que en los estudios que se han realizado para llegar a estas conclusiones no se han tenido en cuenta los márgenes de error en las medidas utilizadas como referencia. Otros destacan la falta de rigor de muchos estudios estadísticos realizados con el fin de averiguar las preferencias medias de un grupo de individuos. (Ver artículo "GoldenRatio.pdf" del profesor George Markowsky de la Universidad de Maine: http://www.umcs.maine.edu/~markov/index.html)
Lo que es innegable es que en el mundo de la matemática y de la geometría la proporción áurea aparece en infinidad de contextos distintos y que el número áureo ocupa un lugar destacado junto a otras famosas constantes: el número pi, el número e, etc.

Figure sec_aur2.fig

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Enlace a la excelente y famosa página del profesor Ron Knott: la sección áurea en arquitectura, arte, música, etc: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html