Hoja-4, "Taller de Matemáticas asistido por ordenador"
(4º E.S.O.) Octubre-2000

(En clase resolveremos sólo algunos de estos ejercicios. Si dispones de ordenador y del programa Cabri puedes hacer por tu cuenta los que no hagamos en clase. Si no tienes Cabri puedes utilizar DR.GEO, disponible en http://www.drgeo.seul.org/,. Se trata de otro programa geométrico muy bueno y, además, gratuito)

  1. Considera el segmento fijo AB y un tercer punto C. Si el punto C se mueve por todo el plano, ¿qué figura describe el circuncentro de los triángulos ABC? Piénsalo antes de utilizar Cabri.
  1. Construye la mediatriz de un segmento con regla y compás. Construye también la bisectriz de un ángulo con regla y compás.

  2. Dibuja un triángulo ABC, siendo AB la base. Dibuja las medianas correspondientes a los vértices A y B. Designa los puntos medios de AC y de BC por M y N, respectivamente. El segmento MN ¿qué nombre recibe? y ¿qué propiedad tiene? Realiza un primer dibujo con Cabri con lo que hemos comentado hasta aquí (nada más).Al punto de intersección de las dos medianas que has dibujado lo llamaremos G. Dibuja ahora los puntos medios de los segmentos AG y BG y desígnalos por P y Q, respectivamente. Fíjate en el segmento PQ. ¿Tiene alguna propiedad especial?Concéntrate ahora en el cuadrilátero PQNM. ¿Qué tipo de cuadrilátero es?¿Por qué? Realiza un segundo dibujo con Cabri de la situación descrita hasta aquí.¿Qué relación existe entre las longitudes de MG y GQ? ¿Por qué? Y ¿entre las longitudes GQ y QB?¿Qué relación hay entre las longitudes de NG y GP? ¿Y entre las longitudes de GP y PA?Realiza un tercer dibujo para medir los segmentos anteriores y comprobar lo que acabas de deducir.Ahora realizaremos un cuarto dibujo en el que dibujaremos las medianas correspondientes a B y a C y repetiremos los razonamientos anteriores.



Resume claramente todos los resultados obtenidos. ¿El punto en el que se cortan esas dos medianas es el mismo punto G?

 

  1. Ejercicio práctico: se trata de realizar una construcción, práctica y bonita, que servirá para familiarizarnos con el uso de "macros" (explicaciones en clase). Dibuja un triángulo, y sobre cada uno de sus lados construye un triángulo equilátero orientado hacia afuera (usando una macro). Construye los baricentros de los tres triángulos que has dibujado (también con una macro) y únelos para obtener un nuevo triángulo. ¿Qué propiedad tiene el triángulo que has construido? Calcula su área (herramienta: "área") y compárala con el área del triángulo de partida.
    El triángulo que has construido uniendo los baricentros se llama triángulo de Napoleón.

  2. Ejercicio práctico: Comprueba que la circunferencia circunscrita de un triángulo ABC contiene a los puntos de intersección de las mediatrices de cada lado con las bisectrices de los ángulos opuestos.

  3. Comprueba que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto. A ese punto se le conoce como ortocentro.
  4. Dibuja un triángulo ABC y otro triángulo construido a partir de ABC trazando por cada vértice una recta paralela al lado opuesto. La cuestión que nos interesa es la siguiente: ¿qué tienen que ver las mediatrices del triángulo construido con las alturas del triángulo inicial ABC? (Explicaciones en clase).

  5. Recta de Euler: comprueba que en todo triángulo el circuncentro, el baricentro y el ortocentro están alineados. Dibuja el segmento que determinan y toma medidas para estudiar si existe alguna relación especial.

  6. Circunferencia de los nueve puntos: dibuja un triángulo y comprueba que los pies de las alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los tres vértices del triángulo están sobre una misma circunferencia.

  1. Triángulo de Morley: Dibuja un triángulo ABC, divide cada uno de sus lados en tres ángulos iguales ("ángulo", "dividir entre tres" y "giro" de un punto situado sobre cada lado del triángulo). Dibuja las semirrectas que parten de cada vértice y que están determinadas por los ángulos divididos entre tres (es decir: tenemos que triseccionar los ángulos del triángulo). Comprueba que sus intersecciones determinan un triángulo equilátero

 

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  1. Considera tres segmentos a, b y c. Construye a partir de ellos un triángulo de lados a, b y c. ¿Siempre se puede construir un triángulo a partir de tres segmentos?

  2. Construye un triángulo rectángulo de catetos AB y AC, y de hipotenusa BC. Enuncia el teorema de Pitágoras. Construye sobre los tres lados del triángulo rectángulo cuadrados; halla sus áreas y comprueba que se cumple el teorema de Pitágoras. Repite la construcción, pero ahora con triángulos equiláteros sobre los lados del triángulo. Investiga un poco. Haz lo mismo pero con hexágonos regulares.

 

HOJA 3 (Taller de Matemáticas asistido por ordenador 4º E.S.O)

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